Ciekawe liczby - eioba, E-booki, Artykuły, Różne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Artykuł pobrano ze strony
eioba.pl
Ciekawe liczby
Pośród liczb są również takie, które posiadają interesujące właściwości. Dowiedz się, co to liczby
bliźniacze, doskonałe, polindromiczne czy złote.
Liczby pierwsze
Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb pierwszych
jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do
tego komputerów. Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2004 roku
(Findley, Woltman, Kurowski) ma postać 2
24036583
-1. Ma ona aż 7 milionów 235 tysiące 733
cyfr.
Po co szuka się takich olbrzymek? Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy
obliczeniowej superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować
informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są także bardzo
użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie
obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości.
Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby
pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa 11 111 111 111 111 111 111
111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb:
23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to palindromy, np.: 11,
757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i
311.
W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował,
dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb
pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.
Liczby względnie pierwsze
Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Przykłady
liczb względnie pierwszych: 6 i 13 , 20 i 35 ....
Liczby bliźniacze
Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze. Przykładami par liczb bliźniaczych są:
3 i 5 ; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19. Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele
par liczb bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para 260497545 x 26625 + 1
i 260497545 x 26625 - 1.
Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych.
Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy
liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:
D6={1,2,3} 1+2+3=6
D28={1,2,4,7,14} 1+2+4+7+14=28
D496={1,2,4,8,16,31,62,1 24,248}1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6
szczególne znaczenie. Wcześni komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28
specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w
czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na
przełomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne
zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużo. I
rzeczywiście Euklides zauważył, że liczby postaci 2
p-1
(2
p
- 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest
liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą
liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to 33550336. Dwa tysiące lat po
Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać
zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe. Szczęśliwym dla
liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do
tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku.
Liczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie
dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej
liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284. Dzielniki
właściwe liczby 220 to:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} więc 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
{1,2,4,71,142} więc 1+2+4+71+142=220
Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb 1184 i 1210.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par liczb
zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby
zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie
mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi
zapewniają szczęście w miłości.
Liczby palindromiczne
Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, 414, 5115...
Liczba złota
Liczba 1/2(√5-1) to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw.
złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy
uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki
astronom Kepler powiedział:
"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział
odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby
kamień drogocenny".
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu
pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności:
- aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,
- aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.
Liczby Fermata
Liczby postaci Fk = 2
2^k
+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną. Matematyk francuski P. de
Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się,
że liczby F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F5 =
4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.
Liczby Mersenne'a
Liczby postaci 2p-1, gdzie p jest liczba pierwszą. Przyjmując p = 2,3,5,7, otrzymujemy liczby
Mersenne'a pierwsze, natomiast 211-1=2047=23*89 jest liczbą złożoną. Nie wiadomo, czy wśród
liczb Mersenne'a jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, nie wiadomo też, czy wśród tych
liczb jest nieskończenie wiele liczb złożonych. Liczby Mersenne'a zasługują na szczególną uwagę,
gdyż wśród nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb pierwszych. Największą
znaną obecnie liczbą Mersenne'a pierwszą jest liczba 2
216091
-1, mającą w rozwinięciu
dziesiętnym 65050 cyfr. Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a pierwszej powoduje odkrycie
nowej parzystej liczby doskonałej.
Liczby trójkątne
Liczby postaci t
k
=k(k+1)/2, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba t
k
jest sumą k kolejnych liczb
naturalnych. Nazwa liczby trójkątne pochodzi stąd, że t
k
jest liczbą monet jednakowej wielkości,
z których można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet. Przykłady liczb
trójkątnych:
t
1
=1, t
2
=3, t
3
=6, t
4
=10.
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86,
3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak
otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221:11=192.
Liczby Fibonacciego
Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch
pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich (tj. 1,1,2,3,5,8,13... ). Nazwa pochodzi od imienia
Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to
ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie
przyrastającej w latach (np. drzewa). Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają
się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to
liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.
Autor dokumentu: Janina Świątek
Link do źródła:
Autor: Janina Świątek
Artykuł pobrano ze strony
eioba.pl
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Ciekawe liczby - eioba, E-booki, Artykuły, Różne

Odnośniki